at kaneshin

Free space for me.

【高等数学】はさみうちの原理〜関数の極限〜

Math

この記事は機械学習に必要な高校数学やり直しアドベントカレンダー Advent Calendar 2016 の20日目の記事です。

f:id:laplus-knsn:20161218204351p:plain

久しぶりに高校時代の教科書を引っ張ってきました。機械学習からはちょっとそれてしまいますが、級数について書きたいな〜と思っていたら懐かしい定理を見つけたので今回はその定理を選択しました。

はさみうちの原理

${ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha, \lim_{x \to a} g(x) = \beta }$ のとき，

$f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ かつ ${\alpha = \beta}$ ならば $\lim_{x \to a} h(x) = \alpha$

私の持つ高校数学Ⅲの教科書（写真参考）では『関数の極限』の章にある『三角関数と極限』というところで学ぶ内容のようです。

${\frac{\sin x}{x}}$ の極限

${\frac{\sin x}{x}}$ の極限問題です。級数や極限値を求めるとき、直接求めることが至極困難なことは多々あるので、色々なアプローチを学んで置くことが重要です。

■ ${x \to 0}$ の場合

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

【証明】

f:id:laplus-knsn:20161218211830p:plain

このような扇形を考えると $\sin x \leq x \leq \tan x$ や $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ が ${ x }$ の値域によって定まり、はさみうちの原理が使用できます。是非、図形から考えてみてください。

■ ${x \to \infty}$ の場合

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

【証明】

${x \to \infty}$ より， ${ x > 0}$ とする．このとき ${-1 \leq \sin x \leq 1}$ より $-\frac{1}{x} \leq \sin x \leq \frac{1}{x}$ となる

ここで

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ ， $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

であるから，はさみうちの原理により

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

上記のように、極限値を二つの関数ではさみ、それらの極限値から求めたい極限値を導出することができました。

おわりに

機械学習やら深層学習の定理では、このように級数から極限を必要とする場面が出てくるので、理論をする方は解析学も重要になるはずです。（はず）